Serie telescopica

L'espressione "serie telescopica" è un termine informale con cui si indica una serie

\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}

i cui termini appaiono nella forma

a_{k}=A_{k+1}-A_{k}

in questo caso le somme parziali si possono esprimere come differenza del primo e ultimo termine della successione $\{A_{k}\}$ :

s_{n}=\sum _{k=1}^{n}(A_{k+1}-A_{k})=({\cancel {A_{2}}}-A_{1})+({\cancel {A_{3}}}-{\cancel {A_{2}}})+({\cancel {A_{4}}}-{\cancel {A_{3}}})+\cdots +({\cancel {A_{n}}}-{\cancel {A_{n-1}}})+(A_{n+1}-{\cancel {A_{n}}})=A_{n+1}-A_{1}\,,

e il calcolo della serie si riduce al calcolo del limite della successione $\{A_{k}\}$ , dato che, a questo punto, risulta l'unica operazione non banale:

$\quad \lim _{n\to \infty }s_{n}=\lim _{n\to \infty }A_{n+1}-A_{1}=\ldots$

Esempi

Un tipico esempio è la serie di Mengoli:

\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(k+1)}}.

Si può dimostrare che la somma di questa serie è $1$ infatti

{\frac {1}{k(k+1)}}=\left(-{\frac {1}{k+1}}\right)-\left(-{\frac {1}{k}}\right),

cioè si tratta di una serie telescopica con $A_{k}=-{\frac {1}{k}}$ e quindi

\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(k+1)}}=\lim _{n\to \infty }\left(-{\frac {1}{n+1}}\right)-(-1)=1.

Altro esempio è la serie geometrica:

\sum _{k=0}^{n}q^{k}=\sum _{k=0}^{n}\left({\frac {1-q^{k+1}}{1-q}}-{\frac {1-q^{k}}{1-q}}\right)={\frac {1-q^{n+1}}{1-q}},\quad {\text{per }}q\neq 1,

\sum _{k=0}^{n}q^{k}=n+1,\quad {\text{per }}q=1,

da cui si dimostra subito che se $\left|q\right|<1$ la serie converge a ${\frac {1}{1-q}}$ .

Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Serie telescopica, su MathWorld, Wolfram Research.

Serie telescopica

Esempi

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