Progressione aritmetica

In matematica una progressione aritmetica è una successione di numeri tali che la differenza tra ciascun termine (o elemento) della successione e il suo precedente sia una costante. Tale costante viene detta ragione della progressione. Per esempio, la successione 3, 5, 7, 9, 11, ... è una progressione aritmetica di ragione 2.

Se il primo termine di una progressione aritmetica è ${\displaystyle a_{1}}$ e la ragione è ${\displaystyle d,}$ allora l'${\displaystyle n}$-esimo termine della successione è dato da:

${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d.}$

Tale proprietà può essere estesa a un qualsiasi termine della progressione; si avrà quindi che:

${\displaystyle a_{r}=a_{s}+(r-s)d}$

La somma dei numeri di una progressione aritmetica finita si chiama serie aritmetica. La somma ${\displaystyle S}$ dei primi ${\displaystyle n}$ valori di una progressione aritmetica è uguale a:

${\displaystyle S_{n}={1 \over 2}n(a_{1}+a_{n}),}$

dove ${\displaystyle a_{1}}$ è il primo termine e ${\displaystyle a_{n}}$ l'${\displaystyle n}$-esimo.

Per esempio per trovare la somma dei primi ${\displaystyle n}$ interi positivi ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k,}$ si calcola:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k=1+2+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}.}$

Si deve dimostrare che ${\displaystyle {\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n}.}$ Posizioniamo due progressioni aritmetiche uguali a quella data una sopra l'altra e con gli addendi invertiti di posizione. Ponendo ${\displaystyle S}$ uguale alla somma e andando poi a sommare in verticali gli addendi corrispondenti, abbiamo che:

${\displaystyle S=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}}$

${\displaystyle S=a_{n}+a_{n-1}+\cdots +a_{2}+a_{1}}$

______________________________________________________

${\displaystyle 2S=(a_{1}+a_{n})+(a_{2}+a_{n-1})+\cdots +(a_{n}+a_{1})}$

La riga inferiore presenta addendi uguali perché ${\displaystyle a_{1}+a_{n}=a_{2}+a_{n-1}=a_{3}+a_{n-2}=\cdots =a_{1}+a_{n}}$. Ciò è facilmente dimostrabile. Infatti, ricordando che l'${\displaystyle n}$-esimo termine è dato da ${\displaystyle a_{1}+(n-1)d}$, effettuando le seguenti sostituzioni:

• ${\displaystyle a_{2}=a_{1}+d}$
• ${\displaystyle a_{n-1}=a_{n}-d}$

e scrivendo

${\displaystyle a_{1}+a_{n}=(a_{1}+d)+(a_{n}-d),}$

si dimostra che

${\displaystyle a_{1}+a_{n}=a_{2}+a_{n-1}.}$

Simili uguaglianze sono dimostrabili per gli altri termini della somma. Ma allora, ricordando che la somma della riga inferiore contiene ${\displaystyle n}$ termini

${\displaystyle 2S=n(a_{1}+a_{n})}$

dividendo entrambi i membri dell'equazione per ${\displaystyle 2}$

${\displaystyle S={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}.}$

Le progressioni aritmetiche forniscono le sequenze di intervalli consecutivi di uguale ampiezza (la ragione); queste sequenze servono per la definizione degli integrali e per le campionature delle funzioni reali di una variabile reale; queste ultime sono utilizzate per la presentazione grafica di queste funzioni in tutti gli odierni sistemi e pacchetti computazionali.

Il teorema di Dirichlet, dimostrato nel 1837 da Peter Gustav Lejeune Dirichlet, afferma che in ogni progressione aritmetica in cui il primo termine ${\displaystyle a}$ e la ragione ${\displaystyle d}$ siano interi coprimi (ossia valga MCD${\displaystyle (a,d)=1}$) si trovano infiniti numeri primi.

• Addizione
• Progressione geometrica
• Polinomi calcolanti somme di potenze di progressioni aritmetiche

• (EN) Eric W. Weisstein, Progressione aritmetica, su MathWorld, Wolfram Research.
• Arithmetic series - da Mathworld, su mathworld.wolfram.com.

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