Teoria da aproximação

Na matemática, a teoria da aproximação preocupa-se com a melhor maneira de aproximar as funções a funções mais simples e obtendo a caracterização quantitativa dos erros introduzidos pela função aproximada em relação à função original. Observe que o que se entende por melhor e mais simples dependerá do contexto de aplicação.

Um tópico intimamente relacionado é a aproximação de funções por séries generalizadas de Fourier, ou seja, aproximações baseadas no somatório de uma série de termos baseados em polinómios ortogonais.

Um problema de interesse particular é o de aproximar funções em bibliotecas matemáticas computacionais, usando operações que podem ser executadas no computador ou na calculadora (por exemplo, adição e multiplicação), de modo a que o resultado seja o mais próximo possível da função real. Isso geralmente é feito com aproximações polinomiais ou racionais (razão de polinómios).

O objetivo é tornar a aproximação o mais próxima possível da função real, normalmente com uma precisão máxima até aos números depois da vírgula (ex: 3,1415926...). Isto é realizado utilizando um polinómio de grau elevado, e / ou reduzindo o domínio polinomial que deve aproximar a função. O estreitamento do domínio geralmente pode ser feito através do uso de várias fórmulas de adição ou dimensionamento para a função que está sendo aproximada. As bibliotecas matemáticas modernas geralmente reduzem o domínio em muitos segmentos minúsculos e usam um polinómio de baixo grau para cada segmento.

Depois que o domínio (geralmente um intervalo) e o grau do polinómio forem escolhidos, o próprio polinómio é escolhido de maneira a minimizar o maior erro possível. Ou seja, o objetivo é minimizar o valor máximo de ${\displaystyle \mid P(x)-f(x)\mid }$, em que P(x) é o polinómio aproximado, f(x) é a função real. Para funções bem comportadas, existe um polinómio de grau N que leva a uma curva de erro que oscila entre ${\displaystyle +\varepsilon }$ e ${\displaystyle -\varepsilon }$ no total de N+2 vezes, dando um erro de pior caso de ${\displaystyle \varepsilon }$. É visto que existe um polinómio de enésimo grau que pode interpolar pontos N+1 numa curva. Esse polinómio é sempre ideal. É possível criar funções inventadas f (x) para as quais não exista esse polinómio, mas essas ocorrem raramente na prática.

Ver artigo principal: Função trigonométrica

Esta aproximação deve-se ao facto de que a função trigonométrica sen(x) possa ser escrita na forma:

${\displaystyle \operatorname {sen}(x)={\frac {x^{1}}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+{\frac {x^{9}}{9!}}\dots }$

Esta relação não passa de uma simples igualdade. Esta relação permite abrir os horizontes ao mundo dos números complexos, por exemplo:

${\displaystyle \operatorname {sen}(x)=2}$

É visível no gráfico que 2 não pertence ao contradomínio da função sen(x), isto deve-se ao facto de que o gráfico só indica os números pertencentes a IR, por isso devemos de apoiar nos números complexos, para tal precisamos da identidade de Euler:

então:

${\displaystyle e^{i\theta }=cos(x)+isen(x)}$ e ${\displaystyle e^{-i\theta }=cos(-x)+isen(-x)=cos(x)-isen(x)}$, subtraindo as igualdades, obtemos:

${\displaystyle e^{i\theta }-e^{-i\theta }=2isen(x);e^{i\theta }-e^{-i\theta }=4i;e^{i\theta }=2i\pm i{\sqrt {3}};i\theta =ln(i(2\pm {\sqrt {3}}))}$${\displaystyle ;\theta ={\frac {\pi }{2}}\pm iln(2+{\sqrt {3}})+2\pi k,k\in Z}$

Substituindo na função polinominal aproximada, teremos: ${\displaystyle \operatorname {sen}(x)\approx 2}$; ${\displaystyle \epsilon \mapsto 0}$

Esta aproximação deve-se ao facto de que a função trigonométrica sen(x) possa ser escrita na forma:

${\displaystyle \cos(x)={\frac {x^{0}}{0!}}-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}...}$

Referências

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• L. Fox and I. B. Parker. "Chebyshev Polynomials in Numerical Analysis." Oxford University Press London, 1968.
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), «Section 5.8. Chebyshev Approximation», Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing, ISBN 978-0-521-88068-8 3rd ed. , New York: Cambridge University Press 
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• L. N. Trefethen, "Approximation theory and approximation practice", SIAM 2013.

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