Teorema de Euler

Devido à numerosa produção teórica de Leonhard Euler, a expressão Teorema de Euler pode ser aplicada a um grande número de teoremas matemáticos e físicos:

O Teorema do Deslocamento de Euler, ou Teorema da Rotação de Euler, em Mecânica dos Corpos Rígidos
O Teorema da Distribuição de Euler, em Geometria
O Teorema do Tociente, ou Teorema de Fermat-Euler, em Teoria dos Números
O Teorema de Euler em Trigonometria
O Teorema de Euler sobre as Diferenciais Exatas, em Cálculo

Teorema de Euler na Teoria dos Números (Teorema do Tociente)

Em teoria dos números, o Teorema de Euler (também conhecido como Teorema de Fermat-Euler) estabelece que se n é um inteiro positivo e a é um inteiro positivo co-primo de n então:

a^{\phi (n)}\equiv 1(mod\;n)

A expressão

a\equiv b(mod\;n)

significa que $a$ e $b$ se encontram na mesma "classe de congruência" módulo $n$ , ou seja, que ambos deixam o mesmo resto se os dividirmos por $n$ , ou, o que é equivalente, $a-b$ é um múltiplo de $n$ .

Um facto importante sobre módulos de números primos é o pequeno teorema de Fermat: se $p$ é um número primo e $a$ é um qualquer inteiro, então

a^{p}\equiv a(mod\;p)

Isto foi generalizado por Euler:

Para qualquer inteiro positivo

n

e qualquer inteiro

a

relativamente primo a

n

, tem-se:

a^{\phi (n)}\equiv 1(mod\;n)

, onde

\phi (n)

denota a função totiente de Euler que conta o número de inteiros entre 1 e n que sejam coprimos em relação a n.

É necessário assinalar que o teorema de Euler é uma consequência do teorema de Lagrange, aplicado ao caso do grupo das unidades de um anel $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ .