Sistema contínuo de segunda ordem

Um Sistema contínuo de segunda ordem é o Sistema dinâmico contínuo generalizado para sistemas mais gerais, de segunda ordem. Possibilitando reduzir qualquer sistema de equações diferenciais ordinárias a um sistema de várias equações, autônomas e de primeira ordem.

No problema da queda livre de um objeto, para calcular a altura em função do tempo, é preciso resolver a equação diferencial

${\displaystyle \color {red}{{\dot {y}}=v}}$

onde ${\displaystyle v}$ é obtida a partir da equação que já resolvemos no capítulo anterior

${\displaystyle \color {red}{{\dot {v}}=a}}$

Aplicando o método de Euler, teremos que encontrar duas sequências a partir de dois valores iniciais conhecidos:

${\displaystyle y_{0}=y(t=0)\qquad v_{0}=v(t=0)}$

usando as relações de recorrência:

${\displaystyle \color {Blue}{\left\{{\begin{array}{l}v_{n+1}=v_{n}+h\,a_{n}\\y_{n+1}=y_{n}+h\,v_{n}\end{array}}\right.}}$

onde ${\displaystyle h}$ é um pequeno intervalo de tempo e a aceleração ${\displaystyle a_{n}}$ calcula-se a partir de uma função conhecida, que depende de ${\displaystyle v_{n}}$

O método do ponto médio consiste em usar a média entre ${\displaystyle v_{n}}$ e ${\displaystyle v_{n+1}}$ para calcular ${\displaystyle y_{n}}$

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}v_{n+1}=v_{n}+h\,a_{n}\\y_{n+1}=y_{n}+h\,\displaystyle {\frac {v_{n}+v_{n+1}}{2}}\end{array}}\right.}$

ou, substituindo a expressão para ${\displaystyle v_{n+1}}$ na segunda equação:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}v_{n+1}=v_{n}+h\,a_{n}\\y_{n+1}=y_{n}+h\,v_{n}+\displaystyle {\frac {1}{2}}a_{n}\,h^{2}\end{array}}\right.}$

O movimento de um projétil, sob a ação da gravidade é um movimento plano, no plano definido pela gravidade e pela velocidade inicial. A posição, velocidade e a aceleração instantânea são vetores com duas componentes, por exemplo, ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$, que verificam duas equações diferenciais

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\vec {r}}}&=&{\vec {v}}\\{\dot {\vec {v}}}&=&{\vec {a}}\end{aligned}}}$

Essas equações são uma generalização vetorial das equações . Assim, o método de Euler também pode ser generalizado facilmente, introduzindo vetores nas equações

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{\vec {v}}_{n+1}={\vec {v}}_{n}+h\,{\vec {a}}_{n}\\{\vec {y}}_{n+1}={\vec {y}}_{n}+h\,{\vec {v}}_{n}\end{array}}\right.}$

Essas equações resolvem-se em forma iterativa, começando com um valor conhecido para os vectores posição e velocidade iniciais.

Um sistema autônomo de segunda ordem consiste em duas variáveis ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ que dependem do tempo, e duas equações de evolução, independentes do tempo:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{\dot {x}}=f(x,y)\\{\dot {y}}=g(x,y)\end{array}}\right.}$

O espaço de fase desse sistema é o plano ${\displaystyle xy}$, formado pelas duas variáveis de estado.

O vector ${\displaystyle f\,{\hat {e}}_{x}+g\,{\hat {y}}}$, construído a partir das duas funções nas equações de evolução acima, é a ``velocidade com que o estado se desloca no espaço de fase. A velocidade de fase em cada ponto do espaço de fase representa-se por um múltiplo positivo do vetor ${\displaystyle f\,{\hat {e}}_{x}+g\,{\hat {y}}}$ nesse ponto. Usa-se um fator de escala para evitar complicar o desenho com vectores muito compridos a cruzarem-se.

O retrato de fase de um sistema autônomo de segunda ordem é uma representação gráfica do campo de direções, no espaço de fase a duas dimensões, mostrando os pontos fixos e algumas soluções que entram ou saem desses pontos.

Existem dois tipos de equações de segunda ordem que podem ser resolvidas analiticamente. O primeiro tipo são as equações lineares com coeficientes constantes, com a forma geral

${\displaystyle a\,y''+b\,y'+c\,y=f(x)}$

onde ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ e ${\displaystyle c}$ são constantes, e ${\displaystyle f(x)}$ tem alguma forma simples.

O segundo tipo de equação é a equação de Euler

${\displaystyle ax^{2}\,y''+bx\,y'+c\,y=f(x)}$

As equações diferenciais autônomas de segunda ordem são as que não dependem explicitamente da variável independente. Podem ser reduzidas a duas equações independentes, de primeira ordem. A forma geral de uma equação autônoma de segunda ordem é:

${\displaystyle \color {Blue}{{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=f\left(x,{\frac {dx}{dt}}\right)}}$

se designarmos de ${\displaystyle v(x)}$ a função ${\displaystyle dx/dt}$, a equação passa a ser de primeira ordem

${\displaystyle \color {Red}{{\dot {v}}=f(x,v)}}$

mas como há 3 variáveis ${\displaystyle (t,xev)}$ nesta equação, ela não pode ser resolvida independentemente mas deverá ser resolvida juntamente com a equação ${\displaystyle dx/dt=v}$. Um método mais simples, que não exige a resolução de duas equações em simultâneo, consiste em obter uma equação diferencial ordinária (unicamente duas variáveis), usando a seguinte substituição:

${\displaystyle {\frac {dv}{dt}}={\frac {dv}{dx}}{\frac {dx}{dt}}=v{\frac {dv}{dx}}}$

substituindo na equação, obtém-se

${\displaystyle v{\frac {dv}{dx}}=f(x,v)}$

que é uma EDO de primeira ordem, com variável independente ${\displaystyle x}$ e variável dependente ${\displaystyle y}$. Cada solução dessa EDO será uma função ${\displaystyle g(x)}$ que representa ${\displaystyle v}$ em função da variável ${\displaystyle x}$. Para calcular ${\displaystyle x(t)}$ resolve-se a seguir

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=g(x)}$

que é também uma equação autônoma, mas de primeira ordem.

A dificuldade deste método é que nem sempre é possível escrever as soluções da equação na forma explícita ${\displaystyle v=g(x)}$.

Na analogia mecânica, ${\displaystyle v}$ é a velocidade e a função ${\displaystyle f}$ na equação é a força resultante, por unidade de massa.

Se as funções ${\displaystyle f}$ ou ${\displaystyle g}$, nos Sistemas de segunda ordem, dependessem do tempo, o sistema deixaria de ser autônomo.

No entanto o sistema pode ser convertido num sistema autônomo, considerando o tempo como mais uma variável de estado, e introduzindo uma equação diferencial trivial para a derivada de ${\displaystyle t}$ (a derivada de ${\displaystyle t}$ em função de ${\displaystyle t}$ é 1).

Outra forma em que um sistema pode diferir da forma padrão será se aparecerem derivadas de ordem superior.

Nesse caso as derivadas de ordem superior podem ser reduzidas a primeira ordem, introduzindo mais variáveis. Vamos ilustrar esses métodos para obter sistemas autônomos por meio de um exemplo.

Transformando o seguinte sistema num sistema autônomo:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{\dot {x}}=3x-y^{2}t\\{\dot {y}}=5x^{2}y\end{array}}\right.}$

Resolução: Se ${\displaystyle t}$ fosse também variável de estado, o sistema seria autônomo; mas deveria haver uma equação de evolução para essa nova variável de estado. Assim, introduzimos mais uma equação (trivial):

${\displaystyle {\dot {t}}=1}$

Assim, o sistema é equivalente a um sistema autônomo de terceira ordem:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{\dot {t}}=1\\{\dot {x}}=3x-y^{2}t\\{\dot {y}}=5x^{2}y\end{array}}\right.}$

O espaço de fase tem três dimensões.

Os métodos para resolver equações diferenciais estudados nas secções anteriores calculam o valor da solução a partir do valor da derivada num ponto inicial. Se a derivada no ponto inicial for infinita, o método falha. Quando o diagrama do campo de direções de um sistema, no plano ${\displaystyle xy}$, apresentar pontos onde o declive for vertical, os métodos numéricos falham nesses pontos. O problema pode ser resolvido introduzindo um parâmetro adicional, como é feito no exemplo seguinte.

Encontramos a solução do sistema:

${\displaystyle \color {Brown}{{\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x}{y}}\qquad y(3)=0}}$

Resolução: O estado inicial, ${\displaystyle x=3}$, ${\displaystyle y=0}$, conduz a uma derivada infinita; assim, não vai ser possível calcular a derivada no ponto inicial (3,0). Não será possível representar o campo de direções nesse ponto, e os métodos numéricos não poderão ser usados para calcular a solução.

Introduzindo um parâmetro adicional, ${\displaystyle t}$, admitimos que as duas variáveis, ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ dependem de ${\displaystyle t}$. A equação é equivalente ao sistema de equações

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=&y\\{\frac {dy}{dt}}&=&-x\end{aligned}}}$

Referências

• Sistema dinâmico não linear
• Sistema dinâmico de Liouville
• Sistema de equações lineares