Univers de Gödel

Ne doit pas être confondu avec Univers constructible.

L'univers de Gödel est une solution aux équations de la relativité générale publiée par le mathématicien Kurt Gödel en 1949.

L'univers de Gödel est un modèle cosmologique. Cette solution possède plusieurs propriétés remarquables. Elle décrit un univers en rotation, c'est-à-dire un univers qui possède une direction privilégiée que l'on peut localement assimiler à un axe de rotation. Par ailleurs, la structure de l'espace-temps permet l'existence de courbes fermées de genre temps^,. Ces travaux sont à l'origine de la recherche d'un plus grand nombre de solutions exactes aux équations d'Einstein.

La métrique de Gödel est une solution exacte de l'équation d'Einstein avec constante cosmologique. Elle décrit un espace quadri-dimensionnel^, lorentzien (tout comme notre espace-temps) empli de matière non relativiste de pression nulle et d'une constante cosmologique. La métrique (ou l'élément de longueur) de cet espace s'écrit

${\displaystyle {\rm {d}}s^{2}=-{\rm {d}}t^{2}+{\rm {d}}x^{2}-{\frac {1}{2}}\exp(2{\sqrt {2}}\omega x)\;{\rm {d}}y^{2}+{\rm {d}}z^{2}-2\exp({\sqrt {2}}\omega x)\;{\rm {d}}t\;{\rm {d}}y,}$

où ${\displaystyle \omega }$ est une constante réelle représentant la vorticité du fluide qui est au repos par rapport aux coordonnées ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$. La densité d'énergie ${\displaystyle \rho }$ du fluide et la constante cosmologique ${\displaystyle \Lambda }$ sont reliées à la vorticité par

${\displaystyle 4\pi \rho =-\Lambda =\omega ^{2}}$

dans un système d'unités tel que la vitesse de la lumière et la constante de gravitation valent 1.

L'univers de Gödel représente un espace homogène, c'est-à-dire que tous ses points sont équivalents.

Sa principale particularité est qu'il comporte des courbes de genre temps fermées. Par le changement de coordonnées

${\displaystyle \exp({\sqrt {2}}\omega x)=\cosh 2r+\cos \phi \sinh 2r,}$

${\displaystyle \omega y\exp({\sqrt {2}}\omega x)=\sin \phi \sinh 2r,}$

${\displaystyle \tan \left({\frac {1}{2}}(\varphi +\omega t-{\sqrt {2}}t)\right)=\exp(-2r)\tan {\frac {1}{2}}\varphi ,}$

l'élément de longueur se réécrit

${\displaystyle {\rm {d}}s^{2}=2\omega ^{-2}\left(-{\rm {d}}t'^{2}+{\rm {d}}r^{2}-(\sinh ^{4}r-\sinh ^{2}r)\;{\rm {d}}\varphi ^{2}-2{\sqrt {2}}\sinh ^{2}r\;{\rm {d}}\varphi \;{\rm {d}}t'\right)+{\rm {d}}z^{2}.}$

Le fluide est toujours au repos par rapport aux coordonnées ${\displaystyle r}$, ${\displaystyle \varphi }$, ${\displaystyle z}$ et l'espace autour de l'origine est symétrique par rapport à l'axe ${\displaystyle r=0}$. L'espace étant homogène, cette propriété se retrouve pour tous les autres points. En ${\displaystyle r=0}$, le cône de lumière futur est orienté vers le haut, tout comme dans un système de coordonnées polaires ordinaire dans l'espace de Minkowski, et n'inclut pas les lignes de coordonnées de ${\displaystyle r}$ et ${\displaystyle \varphi }$. À mesure que l'on considère des points pour des valeurs plus grandes de ${\displaystyle r}$, les cônes de lumière s'inclinent peu à peu jusqu'à inclure la ligne de coordonnée de ${\displaystyle \varphi }$ à partir de ${\displaystyle r=\ln(1+{\sqrt {2}})}$. Les lignes de coordonnées de ${\displaystyle \varphi }$ sont donc pour les grandes valeurs de ${\displaystyle r}$ des courbes de genre temps fermées. Pour cette raison, l'espace de Gödel n'est pas considéré comme une solution physiquement acceptable des équations d'Einstein.

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• (en) « Gödel universe », notice d'autorité n^o 20110803095857377 , Oxford Reference, OUP.

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