Riesz-Potential

Das Riesz-Potential in der Mathematik ist ein Potential, das nach dem ungarischen Mathematiker Marcel Riesz benannt ist. In gewisser Weise definiert das Riesz-Potential ein Inverses für eine Potenz des Laplace-Operators im euklidischen Raum und verallgemeinert somit die Riemann-Liouville-Integrale einer Variable auf mehrere Variablen.

Sei ${\displaystyle 0<\alpha <n}$, dann ist das Riesz-Potential ${\displaystyle I_{\alpha }f}$ einer lokal integrierbaren Funktion ${\displaystyle f}$ auf ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ die Funktion, die definiert ist durch

${\displaystyle \left(I_{\alpha }f\right)(x)={\frac {1}{c_{\alpha }}}\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}{\frac {f(y)}{|x-y|^{n-\alpha }}}\mathrm {d} y}$,

wobei die Konstante gegeben ist durch

${\displaystyle c_{\alpha }=\pi ^{n/2}2^{\alpha }{\frac {\Gamma (\alpha /2)}{\Gamma ((n-\alpha )/2)}}}$.

Dieses singuläre Integral ist wohldefiniert, sofern ${\displaystyle f}$ ausreichend schnell gegen unendlich abfällt, speziell wenn ${\displaystyle f\in L^{p}\left(\mathbf {R} ^{n}\right)}$ mit ${\displaystyle 1\leq p<n/\alpha }$. Tatsächlich gilt für jedes ${\displaystyle 1\leq p}$, dass die Zerfallsrate von ${\displaystyle f}$ und die von ${\displaystyle I_{\alpha }f}$ in folgender Weise miteinander verbunden sind

${\displaystyle \left\|I_{\alpha }f\right\|_{p^{*}}\leq C_{p}\|Rf\|_{p},\quad p^{*}={\frac {np}{n-\alpha p}}}$,

wobei ${\displaystyle Rf=DI_{1}f}$ die vektorwertige Riesz-Transformation ist. Allgemeiner sind die Operatoren ${\displaystyle I_{\alpha }}$ für komplexe ${\displaystyle \alpha }$ wohldefiniert, sofern ${\displaystyle 0<\operatorname {Re} (\alpha )<n}$.

Das Riesz-Potential kann auch allgemeiner im schwachen Sinne als die Faltung

${\displaystyle I_{\alpha }f=f*K_{\alpha }}$

definiert werden, wobei ${\displaystyle K_{\alpha }}$ die lokal integrierbare Funktion

${\displaystyle K_{\alpha }(x)={\frac {1}{c_{\alpha }}}{\frac {1}{|x|^{n-\alpha }}}}$

ist. Das Riesz-Potential kann daher dann definiert werden, wenn ${\displaystyle f}$ eine kompakt getragene Distribution ist. In diesem Zusammenhang ist das Riesz-Potential eines positiven Borelmaßes ${\displaystyle \mu }$ mit kompaktem Träger besonders in der Potentialtheorie von Interesse, da ${\displaystyle I_{\alpha }\mu }$ außerhalb des Trägers von ${\displaystyle \mu }$ eine (stetige) subharmonische Funktion ist und auf ganz ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ unterhalbstetig ist.

Die Betrachtung der Fourier-Transformation zeigt, dass das Riesz-Potential ein Fourier-Multiplier ist.^[1] Tatsächlich gilt:

${\displaystyle {\widehat {K_{\alpha }}}(\xi )=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}K_{\alpha }(x)e^{-2\pi ix\xi }\mathrm {~d} x=|2\pi \xi |^{-\alpha }}$

und daher, gemäß dem Faltungssatz:

${\displaystyle {\widehat {I_{\alpha }f}}(\xi )=|2\pi \xi |^{-\alpha }{\hat {f}}(\xi )}$

Die Riesz-Potentiale erfüllen die folgende Halbgruppen-Eigenschaft, beispielsweise für schnell abfallende stetige Funktionen:

${\displaystyle I_{\alpha }I_{\beta }=I_{\alpha +\beta }}$

vorausgesetzt, dass

${\displaystyle 0<\operatorname {Re} (\alpha ),\operatorname {Re} (\beta )<n,\quad 0<\operatorname {Re} (\alpha +\beta )<n}$

Des Weiteren gilt, falls ${\displaystyle 0<\operatorname {Re} (\alpha )<n-2}$:

${\displaystyle \Delta I_{\alpha +2}=I_{\alpha +2}\Delta =-I_{\alpha }}$

Außerdem gilt für diese Klasse von Funktionen:

${\displaystyle \lim \limits _{\alpha \rightarrow 0^{+}}\left(I_{\alpha }f\right)(x)=f(x)}$

• Sobolev-Raum

• Riesz, Marcel: L'intégrale de Riemann-Liouville et le problème de Cauchy. Acta Mathematica 81, Seiten 1–223, 1949
• Landkof, N. S.: Foundations of modern potential theory. Springer-Verlag, 1972, ISBN 978-3-642-65185-4
• Stein, Elias: Singular integrals and differentiability properties of functions. Princeton University Press, 1970, ISBN 0-691-08079-8

1. ↑ Samko, Stefan G.: A new approach to the inversion of the Riesz potential operator. Fractional Calculus and Applied Analysis, 1 (3), Seite 225–245, 1998