Beschränkte schwach-*-Topologie

Die beschränkte schwach-*-Topologie, kurz bw*-Topologie (nach der englischen Bezeichnung "bounded weak* topology"), ist eine im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersuchte Topologie auf dem Dualraum eines normierten Raums. Sie ist eng mit der schwach-*-Topologie verbunden.

Sei ${\displaystyle X}$ ein normierter Raum und ${\displaystyle X'}$ sein Dualraum. Die bw*-Topologie ist die feinste Topologie auf ${\displaystyle X'}$, deren Relativtopologie auf allen beschränkten Mengen mit der schwach-*-Topologie übereinstimmt.

Definiert man zu jeder beschränkten Menge ${\displaystyle B\subset X'}$ die Inklusion ${\displaystyle \iota _{B}:B\rightarrow X'}$, so ist die bw*-Topologie die Finaltopologie der Abbildungen ${\displaystyle \iota _{B}}$. Eine Menge ${\displaystyle U\subset X'}$ ist genau dann bw*-offen, wenn der Durchschnitt ${\displaystyle U\cap B}$ für alle beschränkten Mengen ${\displaystyle B\subset X'}$ relativ schwach-*-offen ist.

Die hier beschriebene Basis der bw*-Topologie geht auf Jean Dieudonné zurück.^[1] Ist ${\displaystyle X}$ ein normierter Raum, ${\displaystyle f\in X'}$ ein Element des Dualraums und ${\displaystyle (x_{n})_{n}}$ eine Nullfolge in ${\displaystyle X}$, so sei

${\displaystyle B(f,(x_{n})_{n}):=\{g\in X';\,|(f-g)x_{n}|<1{\text{ für alle }}n\in \mathbb {N} \}}$.

Diese Mengen bilden eine Umgebungsbasis offener Mengen von ${\displaystyle f}$. Da diese Mengen offenbar konvex sind, ist die bw*-Topologie eine lokalkonvexe Hausdorff-Topologie.^[2] Ist ${\displaystyle (x_{n})_{n}}$ eine Nullfolge, so ist durch

${\displaystyle p_{(x_{n})_{n}}(f):=\sup _{n\in \mathbb {N} }|f(x_{n})|}$

eine Halbnorm auf ${\displaystyle X'}$ definiert und die bw*-Topologie ist genau die von diesen Halbnormen erzeugte lokalkonvexe Topologie.

Ist ${\displaystyle X}$ ein normierter Raum, so ist der Dualraum mit der bw*-Topologie vollständig, das heißt jedes bw*-Cauchy-Netz konvergiert. Genauer bedeutet das: Ist ${\displaystyle (f_{\alpha })_{\alpha }}$ ein Netz in ${\displaystyle X'}$, so dass es zu jeder Nullfolge ${\displaystyle (x_{n})_{n}}$ aus ${\displaystyle X}$ einen Index ${\displaystyle \gamma }$ gibt, so dass ${\displaystyle f_{\alpha }-f_{\beta }\in B(0,(x_{n})_{n})}$ für alle ${\displaystyle \alpha ,\beta >\gamma }$, so gibt es ein ${\displaystyle f\in X'}$ mit ${\displaystyle f_{\alpha }\rightarrow f}$ bzgl. der bw*-Topologie.

Insbesondere ergibt sich, dass die bw*-Topologie für unendlichdimensionale Räume echt feiner ist als die schwach-*-Topologie ist, denn letztere ist bekanntlich nicht vollständig.^[3]

Ist ${\displaystyle X}$ ein Banachraum, so fallen die schwach-*-stetigen und die bw*-stetigen linearen Funktionale auf ${\displaystyle X'}$ zusammen. Daraus ergibt sich

• Ein lineares Funktional auf ${\displaystyle X'}$ ist genau dann schwach-*-stetig, wenn die Einschränkung auf die Einheitskugel schwach-*-stetig ist.

Außerdem kann daraus sehr leicht der Satz von Krein-Šmulian über schwach-*-abgeschlossene, konvexe Mengen hergeleitet werden. Dies ist im unten angegebenen Lehrbuch^[4] ausgeführt.

Mittels der bw*-Topologie können kompakte Operatoren charakterisiert werden. Ist ${\displaystyle T:X\rightarrow Y}$ ein stetiger, linearer Operator zwischen Banachräumen, so ist der adjungierte Operator ${\displaystyle T':Y'\rightarrow X'}$ bekanntlich stetig, wenn auf beiden Räumen die Normtopologie, die schwach-*-Topologie oder die bw*-Topologie betrachtet wird. Interessante Aussagen sind also erst zu erwarten, wenn man auf den Räumen unterschiedliche Topologien betrachtet. Es gilt folgender Satz^[5]:

• Ein stetiger linearer Operator ${\displaystyle T:X\rightarrow Y}$ zwischen Banachräumen ist genau dann kompakt, wenn der adjungierte Operator ${\displaystyle T':Y'\rightarrow X'}$ stetig ist bzgl. der bw*-Topologie auf ${\displaystyle Y'}$ und der Normtopologie auf ${\displaystyle X'}$.

In Analogie zur bw*-Topologie auf einem Dualraum kann man die bw-Topologie auf dem Ausgangsraum als feinste Topologie, die auf allen beschränkten Mengen mit der relativen schwachen Topologie übereinstimmt, definieren. Diese Topologie hat bei Weitem nicht die Bedeutung wie die bw*-Topologie, denn sie ist im Allgemeinen nicht lokalkonvex. 1974 hat R. F. Wheeler gezeigt, dass die bw-Topologie auf dem Folgenraum ${\displaystyle c_{0}}$ nicht lokalkonvex ist,^[6] und 1984 konnte J. Gómez Gil sogar zeigen, dass die bw-Topologie genau dann lokalkonvex ist, wenn der Raum reflexiv ist.^[7] Für reflexive Räume ${\displaystyle X}$ bringt die bw-Topologie aber nichts Neues, denn dann ist ${\displaystyle X\cong X''}$ selbst ein Dualraum, und die bw-Topologie stimmt mit der bw*-Topologie überein, wenn man ${\displaystyle X}$ mit ${\displaystyle X''}$ identifiziert.

Um eine lokalkonvexe Topologie zu erhalten, definiert man auf ${\displaystyle X}$ die cbw-Topologie, die von allen konvexen, offenen Mengen der bw-Topologie erzeugt wird. Diese ist lokalkonvex und stimmt mit der relativen bw*-Topologie von ${\displaystyle X''}$ überein, wenn man ${\displaystyle X}$ bzgl. der kanonischen Einbettung als Unterraum von ${\displaystyle X''}$ auffasst.^[8]

1. ↑ J. Dieudonné: Natural homomorphisms in Banach spaces, Proceedings American Mathematical Society (1950), Band 1, Seiten 54–59
2. ↑ Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Satz 2.7.2
3. ↑ Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Satz 2.7.6 mit Korollar 2.7.7
4. ↑ Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Theorem 2.7.8 – 2.7.11
5. ↑ Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3, Theorem 3.4.16
6. ↑ R. F. Wheeler: The equicontinuous weak* topology and semi-reflexivity, Studia Mathematica (1972), Band 41, Seiten 243–256
7. ↑ J. Gómez Gil: On local convexity of bounded weak topologies on Banach spaces, Pacific J. Math. (1984), Band 110, Nummer 1, Seiten 71–76
8. ↑ J.G. Llavona: Approximation of Continuously Differentiable Functions, Elsevier Science Publishers (1986), ISBN 0-444-70128-1, Definition 4.2.2, Theorem 4.2.3