, téma, které v průběhu času vyvolalo zájem a diskusi.
je základním prvkem v životě mnoha lidí a jeho dopad se rozšiřuje na různé aspekty, od každodenního života až po profesionální oblast. V tomto článku se podíváme do hloubky na různé aspekty
, od jeho počátků až po jeho dnešní význam. Kromě toho prozkoumáme názory odborníků v oboru a představíme konkrétní příklady, které ilustrují význam
v současné společnosti. Připravte se ponořit se do fascinující cesty světem
Puls na struně s upevněnými konci modelovaný jednorozměrnou vlnovou rovnicí. Vlnová rovnice je významnou parciální diferenciální rovnicí druhého řádu hyperbolického typu, která charakterizuje dynamiku vlnění , ať už v akustice , optice , elektromagnetismu či mechanice .
Vlnovou homogenní rovnici lze vyjádřit ve tvaru:
1
c
2
∂
2
z
∂
t
2
=
∂
2
z
∂
x
1
2
+
∂
2
z
∂
x
2
2
+
.
.
.
+
∂
2
z
∂
x
n
2
{\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x_{2}^{2}}}+...+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x_{n}^{2}}}}
nebo ekvivalentně ve tvaru pomocí Laplaceova operátoru :
1
c
2
∂
2
z
∂
t
2
=
Δ
z
{\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}=\Delta z}
kde
z
{\displaystyle z}
polohy a času .
V obecnějším tvaru má vlnová rovnice nehomogenní vyjádření:
1
c
2
∂
2
z
∂
t
2
=
Δ
z
+
f
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
{\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}=\Delta z+f(x_{1},x_{2},...,x_{n})}
Vlnové rovnice popisující šíření proudových resp. napěťových vln v čase
t
{\displaystyle t}
homogenním elektrickém vedení s rozloženými parametry o délce
l
{\displaystyle l}
Element dx elektrického vedení modelovaný Г-článkem.
∂
2
∂
x
2
i
(
t
,
x
)
−
1
c
2
∂
2
∂
t
2
i
(
t
,
x
)
−
B
∂
∂
t
i
(
t
,
x
)
−
A
i
(
t
,
x
)
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}i\left(t,x\right)-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{{\partial t}^{2}\ }}i\left(t,x\right)-B{\frac {\partial }{\partial t}}i\left(t,x\right)-A\ i\left(t,x\right)=0}
∂
2
∂
x
2
u
(
t
,
x
)
−
1
c
2
∂
2
∂
t
2
u
(
t
,
x
)
−
B
∂
∂
t
u
(
t
,
x
)
−
A
u
(
t
,
x
)
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}u\left(t,x\right)-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{{\partial t}^{2}\ }}u\left(t,x\right)-B{\frac {\partial }{\partial t}}u\left(t,x\right)-A\ u\left(t,x\right)=0}
c
2
=
1
LC
{\displaystyle c^{2}={\frac {1}{\text{LC}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}
B
=
(
R
C
+
L
G
)
{\displaystyle B=\left(RC+LG\right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}
A
=
R
G
{\displaystyle A=RG}
řešitelné při znalosti soustavy počátečních podmínek resp. okrajových podmínek I. druhu:
i
(
0
,
x
)
≡
ψ
i
(
x
)
{\displaystyle \,\,\,\,\,\,\,i\left(0,x\right)\equiv \psi _{i}\left(x\right)\,\,\,\,}
i
(
t
,
0
)
≡
μ
i
(
t
)
{\displaystyle i\left(t,0\right)\equiv \mu _{i}\left(t\right)}
∂
∂
t
i
(
0
,
x
)
≡
ψ
i
˙
(
x
)
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}i\left(0,x\right)\equiv {\dot {\psi _{i}}}\left(x\right)\,\,\,\,\,}
i
(
t
,
l
)
≡
ν
i
(
t
)
{\displaystyle i\left(t,l\right)\equiv \nu _{i}\left(t\right)}
u
(
0
,
x
)
≡
ψ
u
(
x
)
{\displaystyle \,\,\,\,\,\,\,u\left(0,x\right)\equiv \psi _{u}\left(x\right)\,\,\,}
u
(
t
,
0
)
≡
μ
u
(
t
)
{\displaystyle u\left(t,0\right)\equiv \mu _{u}\left(t\right)}
∂
∂
t
u
(
0
,
x
)
≡
ψ
u
˙
(
x
)
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}u\left(0,x\right)\equiv {\dot {\psi _{u}}}\left(x\right)\,\,\,}
u
(
t
,
l
)
≡
ν
u
(
t
)
{\displaystyle u\left(t,l\right)\equiv \nu _{u}\left(t\right)}
mají následující partikulární řešení pro fázory proudu a napětí splňující podmínky
μ
{\displaystyle \mu }
ν
{\displaystyle \nu }
I
(
x
)
=
I
(
0
)
cosh
p
x
−
Y
0
U
(
0
)
sinh
p
x
=
ψ
i
(
x
)
{\displaystyle \mathbf {I} \left(x\right)=\mathbf {I} \left(0\right)\cosh {\mathbf {p} x}-\mathbf {Y} _{0}\mathbf {U} \left(0\right)\sinh {\mathbf {p} x}=\psi _{i}\left(x\right)}
U
(
x
)
=
U
(
0
)
cosh
p
x
−
Z
0
I
(
0
)
sinh
p
x
=
ψ
u
(
x
)
{\displaystyle \mathbf {U} \left(x\right)=\mathbf {U} \left(0\right)\cosh {\mathbf {p} x}-\mathbf {Z} _{0}\mathbf {I} \left(0\right)\sinh {\mathbf {p} x}=\psi _{u}\left(x\right)}
resp.
I
(
x
)
=
I
(
l
)
cosh
p
(
x
−
l
)
−
Y
0
U
(
l
)
sinh
p
(
x
−
l
)
=
ψ
i
(
x
)
{\displaystyle \mathbf {I} \left(x\right)=\mathbf {I} \left(l\right)\cosh {\mathbf {p} (x-l)}-\mathbf {Y} _{0}\mathbf {U} \left(l\right)\sinh {\mathbf {p} (x-l)}=\psi _{i}\left(x\right)}
U
(
x
)
=
U
(
l
)
cosh
p
(
x
−
l
)
−
Z
0
I
(
l
)
sinh
p
(
x
−
l
)
=
ψ
u
(
x
)
{\displaystyle \mathbf {U} \left(x\right)=\mathbf {U} \left(l\right)\cosh {\mathbf {p} (x-l)}-\mathbf {Z} _{0}\mathbf {I} \left(l\right)\sinh {\mathbf {p} (x-l)}=\psi _{u}\left(x\right)}
kde:
p
2
=
(
R
+
j
ω
L
)
(
G
+
j
ω
C
)
=
Z
Y
{\displaystyle \mathbf {p} ^{2}=\left(R+j\omega L\right)\left(G+j\omega C\right)=\mathbf {Z} \ \mathbf {Y} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}
Z
0
≡
Z
Y
{\displaystyle \mathbf {Z} _{0}\equiv {\sqrt {\frac {\mathbf {Z} }{\mathbf {Y} }}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}
Y
0
≡
Y
Z
{\displaystyle \mathbf {Y} _{0}\equiv {\sqrt {\frac {\mathbf {Y} }{\mathbf {Z} }}}}
a
R
,
L
,
G
,
C
{\displaystyle R,L,G,C}
rezistance , indukčnost , konduktance , kapacita ) a
ω
{\displaystyle \omega }
úhlová frekvence sítě.
Obrázky, zvuky či videa k tématu vlnová rovnice na Wikimedia Commons 
