Omezená množina

Pojem omezená množina lze definovat pro množiny reálných čísel nebo obecněji pro metrické prostory. Na reálných číslech, které jsou zároveň metrickým prostorem, jsou obě definice ekvivalentní.

Množinu ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }$ označíme jako omezenou (ohraničenou) shora, existuje-li takové číslo ${\displaystyle a}$, že pro všechna ${\displaystyle x\in A}$ platí ${\displaystyle x<a}$.

Existuje-li takové číslo ${\displaystyle a}$, že pro všechna ${\displaystyle x\in A}$ platí ${\displaystyle x>a}$, pak množinu ${\displaystyle A}$ označíme jako omezenou (ohraničenou) zdola.

Množina ${\displaystyle A}$, která je současně omezená zdola i shora, je omezená (ohraničená).

Je-li ${\displaystyle (M,\rho )\,\!}$ metrický prostor, pak množinu ${\displaystyle A\subseteq M\,\!}$ nazveme omezenou, pokud existuje ${\displaystyle x\in M\,\!}$ a reálné číslo ${\displaystyle r\in \mathbb {R} \,\!}$ takové, že pro každé ${\displaystyle y\in A\,\!}$ je ${\displaystyle \rho (x,y)<r\,\!}$

Na rozdíl od pojmu uzavřená množina, který není absolutní (tentýž metrický prostor může být uzavřený v jednom svém nadprostoru a neuzavřený v jiném), omezenost je absolutní pojem.

Totálně omezený metrický prostor je vždy omezený, opačně to však neplatí.

Posloupnost je omezená, pokud množina hodnot, kterých posloupnost nabývá, je omezená. Například posloupnost

${\displaystyle \left\{{{1} \over {n}}\right\}_{n}=1,\,{{1} \over {2}},\,{{1} \over {3}},\,{{1} \over {4}},\,{{1} \over {5}},\,\dots \,\!}$

je omezená; příklad neomezné posloupnosti je ${\displaystyle \{{\sqrt {n}}\}_{n}\,\!}$ nebo posloupnost

${\displaystyle \{n!\}_{n}=1,2,6,24,120,720\dots \,\!}$

• Omezená funkce